Son atajos para derivar sin hacer el límite cada vez. En una potencia el exponente baja a multiplicar y se le resta uno, así que x3 se vuelve 3x2; una suma se deriva término por término.
La definición
Tres reglas que derivan cualquier polinomio (y más) sin volver al límite:
dxdxn=nxn−1(cf)′=cf′(f+g)′=f′+g′
Regla de la potencia + linealidad. Con eso, derivar 2x4−3x3+x2−5x+1 toma diez segundos: término a término, bajando exponentes.
1.
¿Y esto para qué?
Un tanque de agua cúbico mide 2 metros de lado. Si lo hicieras un poquito más grande, ¿cuánta agua más le cabría por cada metro de lado?
El volumen es V=x3 y la regla de la potencia da V′=3x2: con 2 m de lado, 12 metros cúbicos por cada metro de más, o sea 12.000 litros. Con 3 m de lado ya serían 27, porque el tanque crece a la vez por tres caras y cada cara mide x2. La derivada dice cuánto crece algo según el tamaño que ya tiene.
2.
¿Cuándo usarlo?
1
Potencias: baja el exponente, resta uno. (x5)′=5x4.
2
Reescribe antes de derivar: x31=x−3, x=x1/2.
3
Constantes multiplicativas se quedan: (3x2)′=6x. Constantes sueltas mueren: (7)′=0.
4
Polinomios: término a término, cada signo viaja con su término.
5
Recta tangente en x=a: punto (a,f(a)), pendiente f′(a), plantilla y=f(a)+f′(a)(x−a).
3.
Fórmulas clave
Regla de la potencia
dxdxn=nxn−1
Baja el exponente, resta uno. Vale para CUALQUIER exponente real: negativo, fraccionario…
Son DOS movimientos: (x5)′=5x4, no x4. Olvidar el coeficiente es el error #1.
Linealidad
(c⋅f)′=c⋅f′(f+g)′=f′+g′
Deriva término a término; las constantes que multiplican se quedan quietas.
Los casos base
(c)′=0(x)′=1
Una constante es una recta horizontal (pendiente 0); y=x es la recta de pendiente 1.
Recta tangente en x = a
y=f(a)+f′(a)(x−a)
El punto va con f, la pendiente va con f′. Dos números y una plantilla.
No mezcles: la recta pasa por (a,f(a)), NO por (a,f′(a)).