Producto y cociente · Numa

Teoría

Producto y cociente

Técnica de cálculo

Producto y cociente

La derivada de un producto no es el producto de las derivadas.

Qué es

Sirven para derivar funciones multiplicadas o divididas, donde derivar cada una por su lado da mal. Mira

x \cdot x = x^2

: su derivada es

2x

, pero derivar cada factor y multiplicar da

1 \cdot 1 = 1

.

La definición

Dos reglas para derivar lo que la regla de la potencia no alcanza: funciones multiplicadas o divididas.

(fg)' = f'g + fg' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

En el producto derivas uno y dejas el otro quieto, y sumas las dos versiones. En el cociente es casi lo mismo, pero con una resta (el orden importa) y el denominador al cuadrado.

1.

¿Y esto para qué?

Si le subes el precio al almuerzo que vendes, ganas más por cada plato pero vendes menos. ¿Cómo sabes si te conviene?

Lo que recibes es precio por cantidad,

I = p \cdot q

, y al subir el precio cambian los dos factores a la vez. La regla del producto los separa,

I' = q + p \cdot q'

: el primer término es lo que ganas de más en los platos que igual vendes, y el segundo, lo que pierdes por los que dejas de vender. Si la suma da positiva, subirlo te conviene.

2.

¿Cuándo usarlo?

1

Producto: deriva el primero por el segundo quieto, suma el primero quieto por la derivada del segundo.

(x^2 \sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x

.

2

Cociente: arriba va

f'g - fg'

(en ESE orden), abajo

g^2

. Si inviertes el orden de arriba, el signo te queda al revés.

3

Antes de aplicar la regla, pregúntate si conviene reescribir:

\frac{x^3}{x}

es mejor como

x^2

, sin cociente.

4

Con tres factores el patrón se extiende: derivas uno a la vez y dejas los otros dos quietos, luego sumas los tres términos.

3.

Fórmulas clave

Regla del producto

(f \cdot g)' = f'g + fg'

Deriva uno, deja el otro quieto; repite cambiando de papel; suma.

NO es

f'g'

. Con

f = g = x

eso daría

1

, pero

(x^2)' = 2x

.

Regla del cociente

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Arriba primero la derivada del de arriba; abajo el de abajo al cuadrado.

El orden de la resta importa:

f'g - fg'

, no al revés. Y nunca olvides el

g^2

.

Tres factores

(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'

Un término por factor: en cada uno derivas solo ese y dejas los otros dos quietos.

Ver hoja de fórmulas completa

4.

Error clásico

"

(fg)' = f' \cdot g'

, derivo cada uno y los multiplico."

5.

Ejemplo resuelto

Deriva

f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}

7.

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

¿Cuál es la derivada de

f(x) = x^2 \cos x

?

Comprueba tu comprensión

En

\left(\frac{f}{g}\right)'

, ¿qué pasa si escribes el numerador como

fg' - f'g

?

8.

Lecciones con esta técnica

#74MedioProducto y cociente

La regla del producto

\frac{d}{dx}\,\big(x^2 \sin x\big) = \,?

Regla del producto y del cociente4 pasos

#75DifícilProducto y cociente

Regla del producto: tres factores

\frac{d}{dx}\,\big(x^2 e^x \cos x\big) = \,?

Regla del producto y del cociente3 pasos

#76MedioProducto y cociente

La regla del cociente

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+1}{x-3}\right) = \,?

Regla del producto y del cociente4 pasos

#77MedioProducto y cociente

Cociente con trigonométricas: de dónde sale sec²x

\frac{d}{dx}\,\tan x = \,?

Regla del producto y del cociente4 pasos

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