Teoría

Regla de la cadena

Técnica de cálculo

Regla de la cadena

Deriva la de afuera y nunca olvides la de adentro.

Qué es

Sirve para derivar una función dentro de otra, como

(3x+1)^5

. Derivas la potencia sin tocar lo de adentro,

5(3x+1)^4

, y multiplicas por la derivada de lo de adentro, que es 3.

La definición

La regla que deriva una función metida dentro de otra (una composición):

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Derivas la función de afuera dejando lo de adentro igual, y multiplicas por la derivada de lo de adentro. Ese último factor es el que se olvida, y el que separa la respuesta correcta de la incompleta.

¿Y esto para qué?

Vas en bus de Medellín a Santa Elena y cada vez hace más frío. ¿A qué ritmo baja la temperatura mientras subes?

En promedio, el aire se enfría unos 6,5 °C por cada kilómetro de altura, y si el bus sube, digamos, 1,5 km de altura por hora, la temperatura baja

6{,}5 \cdot 1{,}5

, casi 10 °C por hora. Eso es la regla de la cadena,

\frac{dT}{dt} = \frac{dT}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}

: el ritmo de afuera por el de adentro, igual que al derivar

(3x+1)^5

. Cuando algo depende de otra cosa que también está cambiando, los ritmos se multiplican.

¿Cuándo usarlo?

Identifica las capas: ¿qué es lo de afuera y qué es lo de adentro? En

\sin(x^2)

, afuera es

\sin

, adentro es

x^2

Deriva la de afuera dejando lo de adentro intacto:

(\sin u)' = \cos u

\cos(x^2)

Multiplica por la derivada de adentro:

(x^2)' = 2x

, así que la respuesta es

2x\cos(x^2)

Si hay tres capas, repites: derivas la de más afuera y vas multiplicando hacia adentro, capa por capa.

Fórmulas clave

La regla

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Deriva afuera dejando adentro quieto, y multiplica por la derivada de adentro.

El factor

g'(x)

es obligatorio. Olvidarlo es el error más común de toda la unidad.

Cadena con potencia

\big((g(x))^n\big)' = n\,(g(x))^{n-1} \cdot g'(x)

La regla de la potencia, pero pegándole al final la derivada de la base.

En notación de Leibniz

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Las velocidades se multiplican: lo de afuera por lo de adentro.

Es un truco de lectura, no una fracción que se "cancela" de verdad.

Ver hoja de fórmulas completa

Error clásico

\big((3x+1)^5\big)' = 5(3x+1)^4

y listo."

Ejemplo resuelto

Deriva

f(x) = \sqrt{x^2 + 1}

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

¿Cuál es la derivada de

f(x) = (2x - 5)^3

Comprueba tu comprensión

\sin(x^2)

, ¿qué es la función "de adentro"?

Lecciones con esta técnica

#78MedioRegla de la cadena

La regla de la cadena

\frac{d}{dx}\,(3x+1)^5 = \,?

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#79MedioRegla de la cadena

Cadena con trigonométricas

\frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = \,?

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#80DifícilRegla de la cadena

Cadena anidada: tres capas

\frac{d}{dx}\,\sin^2(3x) = \,?

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Derivadas trascendentes