Regla de L'Hôpital

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

se puede atacar derivando arriba y abajo, cada uno por su lado.

Qué es

Con

\frac{\sin x}{x}

cuando

x \to 0

, derivar arriba y abajo deja

\frac{\cos x}{1}

, que vale 1. Ojo: no es la regla del cociente, y si al sustituir no te dio

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

, no aplica.

La definición

Una regla para calcular límites que dan una forma indeterminada

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

. Dice que, en esos casos, el límite del cociente

\frac{f(x)}{g(x)}

es igual al límite de

\frac{f'(x)}{g'(x)}

: derivas el numerador y el denominador POR SEPARADO (no con la regla del cociente) y vuelves a evaluar. Si sigue indeterminado, puedes repetir.

¿Y esto para qué?

Dos carros pasan por el mismo semáforo en el mismo instante: uno va a 60 km/h y el otro a 40, y los dos venían frenando. Justo antes de pasar, ¿cuántas veces más lejos estaba el primero?

Las dos distancias al semáforo se van a cero a la vez, así que su cociente es un

\frac{0}{0}

, y L'Hôpital dice que tiende al cociente de sus derivadas, o sea de sus velocidades: justo antes de pasar, el primero estaba 1,5 veces más lejos, aunque los dos vinieran frenando. Cuando dos cantidades se apagan juntas, el cociente lo decide cuál se apaga más rápido. Con

\frac{\sin x}{x}

pasa lo mismo: arriba y abajo llegan a cero con la misma pendiente, y por eso el límite da 1.

Quién lo necesitó. El marqués de L'Hôpital, que le pagaba a Johann Bernoulli para que le enseñara cálculo y le contara sus hallazgos. Publicó la regla en 1696, en el primer libro de texto de cálculo, y por eso lleva su nombre aunque la descubrió Bernoulli.