La recta tangente no solo mide pendiente: sirve para estimar.
Qué es
Cerca de un punto, una curva y su recta tangente casi coinciden, así que puedes usar la recta, que es fácil, para estimar la curva. Partiendo de 4=2, la recta te da 4.1≈2.025.
La definición
Una forma de usar la derivada para APROXIMAR. El diferencial dy=f′(x)dx es el cambio de la función medido a lo largo de la recta tangente cuando te mueves un poquito dx. Como cerca de un punto la tangente casi se pega a la curva, ese dy estima el cambio real. Escrita como función, la tangente se llama aproximación lineal: L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).
1.
¿Y esto para qué?
Tu cuarto es cuadrado, de 4 metros de lado. Si lo agrandas para que mida 4,1 por 4,1, ¿cuánto piso más tienes que comprar?
El diferencial lo estima sin hacer la multiplicación: con A=x2,dA=2xdx=2⋅4⋅0,1=0,8 metros cuadrados. La cuenta exacta da 4,12−16=0,81, y ese 0,01 de diferencia es el cuadradito de 10 por 10 centímetros que queda en la esquina: dy se acerca a Δy, pero no es igual. Cuando el cambio es pequeño, la recta tangente te da casi la cuenta exacta con mucho menos trabajo.
2.
¿Cuándo usarlo?
1
Aproximar un valor difícil (4.1): elige un a cercano y fácil, calcula dy=f′(a)dx y súmalo a f(a).
2
Propagación de error: si una medida x tiene incertidumbre dx, el error en f es df=f′(x)dx.
3
Estimar el cambio de una cantidad ante un cambio pequeño de otra, sin recalcular todo.
4
Escribir la recta tangente como función L(x) para reemplazar f cerca de un punto.
3.
Fórmulas clave
El diferencial
dy=f′(x)dx
El cambio a lo largo de la tangente cuando avanzas dx. Aproxima el cambio real Δy.
dy=Δy. Son parecidos solo para dx pequeño.
Aproximación lineal
L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)
La recta tangente en a como función. Estima f(x)para x cerca de a.
Solo cerca de a: lejos, la recta y la curva se separan.