Deriva sin despejar: trata la y como una función escondida de x.
Qué es
Sirve para derivar cuando la y no está despejada, como en el círculo x2+y2=25. Derivas los dos lados así como están, multiplicando por dxdy cada vez que derivas algo con y, y al final lo despejas.
La definición
Una forma de hallar dxdy cuando la ecuación relaciona xe y sin que y esté despejada, como x2+y2=25. La idea es tratar y como una función de x que existe aunque no conozcas su fórmula. Entonces derivas ambos lados de la ecuación respecto a x: cada vez que aparece y, la regla de la cadena mete un factor dxdy. Al final despejas ese dxdy con álgebra.
1.
¿Y esto para qué?
Una escalera de 5 metros está apoyada en la pared y el pie empieza a resbalar. ¿La punta de arriba baja igual de rápido?
No: el pie y la punta siempre cumplen x2+y2=25, y derivando sin despejar sale dxdy=−yx. Con el pie a 3 m, la punta está a 4 y baja 43 de centímetro por cada centímetro que se aleja el pie; con el pie a 4 m, baja 34, así que la escalera se viene abajo cada vez más rápido. La derivación implícita sirve para eso: medir cómo se mueven dos cantidades amarradas por una ecuación sin despejar ninguna.
2.
¿Cuándo usarlo?
1
La ecuación mezcla xe y y no puedes (o no quieres) despejar y: círculos, elipses, curvas implícitas.
2
Te piden la pendiente o la recta tangente en un punto de una curva que no es una función.
3
Aparecen potencias, productos o funciones de y(y2,xy,siny): cada una arrastra su dxdy.
4
Como paso previo a razones de cambio relacionadas, donde derivas respecto al tiempo (mismo mecanismo, otra variable).
3.
Fórmulas clave
Cada y arrastra dy/dx
dxd[f(y)]=f′(y)⋅dxdy
Deriva "por fuera" como siempre y multiplica por dxdy. Es la regla de la cadena, porque y es función de x.
Si en tu respuesta no quedó ningún dxdy, olvidaste aplicar la cadena a algún término con y.
Potencia de y
dxd(yn)=nyn−1dxdy
La regla de la potencia de siempre, pero con el dxdy pegado al final.