Teoría

Derivadas trascendentes

Técnica de cálculo

Derivadas trascendentes

Exponencial, logaritmo y trigonométricas: cada una con su derivada propia.

Qué es

El seno, el coseno,

e^x

y el logaritmo no son potencias de

x

, así que bajar el exponente no les sirve:

2^x

no se deriva como

x^2

. Cada una tiene su derivada propia, y la de

e^x

es ella misma.

La definición

Las funciones que no son potencias de

x

tienen sus propias derivadas, que toca conocer de memoria:

(e^x)' = e^x \qquad (\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad (\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x

No salen de "baja el exponente": son resultados aparte. La buena noticia es que son pocas y se repiten en todo el cálculo.

¿Y esto para qué?

¿Por qué un tinto se enfría rápido al principio y después parece que se queda tibio para siempre?

Porque se enfría a un ritmo proporcional a cuánto más caliente está que el cuarto: al principio esa diferencia es grande y la pierde rápido, y ya tibio es pequeña y la pierde despacio. La función que se comporta así es la exponencial, porque

e^x

es su propia derivada: cambia al ritmo de lo que vale. Por eso aparece donde algo cambia según cuánto hay, como el tinto, un medicamento que sale de la sangre o la plata con interés compuesto.

¿Cuándo usarlo?

Si la variable está en el EXPONENTE (

e^x

2^x

), usa la regla exponencial, nunca

nx^{n-1}

Exponencial:

(e^x)' = e^x

; con otra base aparece su logaritmo:

(a^x)' = a^x \ln a

Logaritmo:

(\ln x)' = \frac{1}{x}

; con otra base,

(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}

Trigonométricas:

(\sin x)' = \cos x

(\cos x)' = -\sin x

. El signo menos del coseno es el detalle que más se escapa.

Fórmulas clave

Exponenciales

(e^x)' = e^x \qquad (a^x)' = a^x \ln a

La exponencial natural se deriva a sí misma; con otra base, multiplica por el

\ln

de la base.

NO es

x\,a^{x-1}

. La variable está en el exponente, no en la base.

Logaritmos

(\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

El natural da

1/x

limpio; otra base divide además por el

\ln

de la base.

Solo válido para

x > 0

, que es donde el logaritmo existe.

Trigonométricas

\begin{gathered} (\sin x)' = \cos x \quad (\cos x)' = -\sin x \\[2pt] (\tan x)' = \sec^2 x \end{gathered}

Seno y coseno se turnan; el coseno se lleva el signo menos.

El menos de

(\cos x)'

es el error más repetido. Derivar coseno te da seno NEGATIVO.

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Error clásico

(e^x)' = x\,e^{x-1}

, le bajo el exponente como a

x^n

Ejemplo resuelto

Deriva

f(x) = 3\sin x - 2\cos x + e^x

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¿Cuál es la derivada de

f(x) = e^x

Comprueba tu comprensión

¿Cuál es la derivada de

\cos x

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