Álgebra esencial

Casi ningún límite se atora por el límite, sino por un paso de álgebra.

Qué es

Son los movimientos que cambian cómo se ve una expresión sin cambiar lo que vale.

x^2 - 4

(x-2)(x+2)

son lo mismo escrito distinto, pero la segunda forma te deja ver el factor que se cancela en un límite.

La definición

El álgebra es el conjunto de manipulaciones que reescriben una expresión sin cambiar su valor: factorizar, expandir, simplificar exponentes, despejar.

En Cálculo I no es un repaso opcional. Es la mecánica con la que destrabas cada indeterminación. El cálculo decide qué hacer; el álgebra lo ejecuta.

¿Y esto para qué?

Exponentes y productos notables

Si 3 personas comparten una publicación y cada una se la pasa a 3 más, ¿a cuánta gente le llega en la décima ronda?

3^{10}

, o sea 59.049 personas solo en esa ronda. Un exponente es la forma corta de decir "multiplica por lo mismo muchas veces", y por eso aparece en todo lo que crece así: contagios, intereses, bacterias. Y como diez rondas son cinco más cinco,

3^{10} = 3^5 \cdot 3^5

: multiplicar potencias de la misma base es sumar sus exponentes.

Factorización algebraica

Lanzas una pelota hacia arriba y su altura en metros es

h(t) = 10t - 5t^2

. ¿En qué segundo vuelve a caer al piso?

Sacando factor común,

h(t) = 5t(2 - t)

, y un producto solo vale cero si alguno de sus factores vale cero: la pelota está en el piso en

t = 0

, cuando sale, y en

t = 2

, cuando cae. Encontrar cuándo algo vale cero, sea una altura, una ganancia o una velocidad, es para lo que más se factoriza.

Fracciones y racionalización

Si la calculadora igual te da el número, ¿para qué simplificar una fracción con letras?

Porque la calculadora no siempre te lo da: pon

x = 3

\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 9}

y te dice error, y en

\frac{x + 2}{x + 3}

, que es la misma fracción simplificada, te da

\frac{5}{6}

. Factorizar y cancelar muestra que las dos son la misma función en todas partes menos en ese punto, y ese hueco es justo lo que estudian los límites. Afuera casi nadie lo hace a mano: es gramática, te deja ver lo que la fórmula tenía escondido.

Despejes e inecuaciones

Tu app del clima está en inglés y dice que en Miami hacen 95 °F. ¿Eso es mucho calor?

Las dos escalas se relacionan con

F = 1{,}8C + 32

, y para saber los grados Celsius despejas

C

C = \frac{F - 32}{1{,}8} = \frac{95 - 32}{1{,}8} = 35

. Treinta y cinco grados, calor de Santa Fe de Antioquia. Despejar es voltear una fórmula para que conteste la pregunta que tú tienes, no la que traía escrita.