El dominio es el mapa de dónde la función tiene permiso de existir.
Qué es
Una función es como una máquina: le das un número y te devuelve uno solo. El dominio son los números que le puedes dar sin que se rompa; a x−31, por ejemplo, no le puedes dar el 3.
La definición
Una función es una regla que a cada entrada le da una sola salida. El dominio es el conjunto de entradas donde esa regla tiene sentido.
No todas las x valen: una fracción se rompe si el denominador es 0, y una raíz par se rompe con números negativos. El dominio es lo que queda después de sacar esos puntos prohibidos.
1.
¿Y esto para qué?
Dominio y tramos
¿Por qué una fórmula de Excel que funciona en casi todas las filas de pronto muestra un error en una sola?
Porque en esa fila el valor cae por fuera del dominio: la fórmula termina dividiendo por cero. Buscar el dominio es encontrar esas filas antes de que aparezcan.
Composición y transformaciones
Tienes un bono de 10.000 pesos y al precio todavía le falta el IVA del 19 %. ¿Te conviene que te descuenten el bono antes o después de sumar el IVA?
Son dos máquinas en fila: f(p)=p−10.000 descuenta el bono y g(p)=1,19p suma el IVA. Bono primero da g(f(p))=1,19p−11.900; IVA primero da f(g(p))=1,19p−10.000, así que descontar antes te ahorra 1.900 pesos, porque así el IVA se cobra sobre un precio más bajo. En una composición el orden cambia el resultado, y por eso importa cuál función va por dentro.
Tabla de signos y dominio
Un tanque tiene un hueco a 1 metro del piso. ¿Para qué niveles del agua tiene sentido hablar de la velocidad del chorro?
La velocidad es más o menos v=20(h−1) metros por segundo, con h la altura del agua, y una raíz solo acepta lo que no es negativo: h−1≥0, o sea h≥1, el intervalo [1,∞). Por debajo del hueco la fórmula no da ningún número, y el tanque tampoco da chorro. El dominio de una fórmula te dice dónde describe algo que existe.
Valor absoluto
Una fábrica hace tornillos de 20 mm y acepta los que se pasen o se queden cortos hasta 0,1 mm. ¿Cómo le dices a una máquina cuánto se desvió un tornillo, sin importar hacia qué lado?
Con ∣x−20∣, la distancia entre lo que mide el tornillo y 20: por partes es 20−x si se quedó corto y x−20 si se pasó, y en los dos casos da un número positivo. Así uno de 19,95 mm y uno de 20,05 mm se desviaron lo mismo, 0,05, y la máquina acepta todo tornillo cuyo desvío no pase de 0,1. El ±0,1 que traen los planos de fabricación es exactamente eso: un valor absoluto.
Rectas y pendiente
En una app de transporte, una carrera de 2 km te costó 8.000 pesos y una de 5 km, 14.000. ¿Cuánto te cobran por cada kilómetro?
Entre las dos carreras hay 3 km y 6.000 pesos de diferencia, así que m=5−214.000−8.000=2.000 pesos por kilómetro. Eso es la pendiente: cuánto cambia lo que pagas por cada kilómetro de más. Todo lo que cobre lo mismo por cada unidad tiene una pendiente, y esa pendiente es el precio de cada unidad.
2.
¿Cuándo usarlo?
1
Fracciones: iguala el denominador a 0 y saca esos valores de x.
2
Raíces de índice par: lo de adentro tiene que ser ≥0.
3
Si lo de adentro es una cuadrática, esa desigualdad sale con tabla de signos: factorizas, marcas las raíces y pruebas un punto de cada tramo.
4
Logaritmos: el argumento tiene que ser >0.
5
Funciones a trozos: cada pieza manda solo en su intervalo; revisa con cuidado los puntos de unión.
3.
Fórmulas clave
Las tres alarmas del dominio
g(x)1⇒g(x)=0g(x)⇒g(x)≥0ln(g(x))⇒g(x)>0
Denominadores no pueden ser 0, raíces pares no aceptan negativos y el logaritmo solo acepta positivos. No hay más alarmas en Cálculo I.
Composición
(f∘g)(x)=f(g(x))
De adentro hacia afuera: primero evalúa g, y ese resultado entra a f.