Factorización Avanzada

División Sintética: Regla de Ruffini Completación de Cuadrado Racionalización

División Sintética: Regla de Ruffini

Antes de la regla

Ese es el trato: si encuentras una raíz, ya tienes un factor. Ruffini divide el polinomio por

(x - r)

en una tabla y le baja el grado, que es lo que permite factorizar polinomios de grado

\geq 3

.

Las raíces que buscas con Ruffini son los cortes con el eje x:

1, 2, 3

→

P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)

.

Reglas

Paso 0: Encontrar candidatos a raíz

\text{Si } P(r) = 0 \Rightarrow (x - r) \text{ es factor de } P(x)

Candidatos racionales:

r = \pm\dfrac{p}{q}

donde

p

divide al término independiente y

q

divide al coeficiente líder.

Siempre prueba

r = 1, -1, 2, -2

primero: son los más frecuentes en ejercicios.

Inténtalo

Proceso de Ruffini: división tabla

P(x) = (x - r) \cdot Q(x) + R

Coeficientes en fila. Bajo el primero, multiplico por

r

y sumo en diagonal. El último número es el residuo

R

.

Si el polinomio tiene términos faltantes (ej: no hay

x^2

), coloca 0 en esa posición.

Inténtalo

Errores clásicos

"

P(2) \neq 0

, entonces 2 no puede ser raíz de ningún factor."

"Pongo los coeficientes del polinomio pero omito el término que falta porque es 0."

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Completación de Cuadrado

Antes de la regla

Técnica para reescribir

ax^2 + bx + c

como

a(x - h)^2 + k

. Esencial para cónicas, integrales y análisis de funciones cuadráticas.

Completar el cuadrado no es un truco: es despejar el vértice.

x^2+6x+5 = (x+3)^2 - 4

→ vértice en

(-3, -4)

(los valores iniciales de los sliders).

Reglas

Algoritmo: agrega y resta el término que falta

ax^2 + bx + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

El número mágico es

\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2

: lo sumas y restas para no cambiar el valor.

Si

a \neq 1

, primero saca

a

como factor antes de completar. Si no, el término que añades no es

\left(b/2\right)^2

sino

\left(b/2a\right)^2

.

Inténtalo

Errores clásicos

"

x^2 + 6x

→ agrego

(6/2)^2 = 9

, listo:

(x+3)^2

."

"

2x^2 + 8x

→ el número mágico es

(8/2)^2 = 16

."

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Racionalización

Antes de la regla

No solo para raíces cuadradas. El conjugado elimina cualquier diferencia de raíces o expresiones irracionales.

Reglas

El conjugado: cambia solo el signo del medio

\begin{gathered} \text{Conjugado de } (a + b) = (a - b) \\[2pt] (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \end{gathered}

El conjugado de cualquier binomio es el mismo binomio con el signo opuesto entre los dos términos.

Solo el signo del medio cambia. Los términos

a

y

b

en sí NO cambian.

Inténtalo

Racionalización: multiplica arriba y abajo por el conjugado

\frac{f(x)}{\sqrt{u} - v} \cdot \frac{\sqrt{u} + v}{\sqrt{u} + v} = \frac{f(x)(\sqrt{u}+v)}{u - v^2}

Multiplicar por

\dfrac{\text{conjugado}}{\text{conjugado}}

es multiplicar por 1: el valor no cambia, solo la forma.

Siempre multiplica numerador Y denominador. Nunca solo uno de los dos.

Inténtalo

Errores clásicos

"Multiplico el numerador por el conjugado para eliminar la raíz."

"Conjugado de

(\sqrt{x} - 2)

es

(-\sqrt{x} + 2)

": cambio los signos de todo.

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