Despejes e Inecuaciones

Inecuaciones lineales Inecuaciones cuadráticas: Método de signos Valor Absoluto Despejes con exponenciales y logaritmos

Inecuaciones lineales

Antes de la regla

Eso que acabas de ver es la única diferencia con una ecuación: al multiplicar o dividir por un negativo, el signo de desigualdad se invierte.

La recta es la frontera de

y \leq mx + b

: un lado cumple, el otro no. La ecuación de arriba cambia en vivo con los puntos.

Reglas

La única regla diferente: negativo invierte la desigualdad

\text{Si } a < b \text{ y } c < 0 \Rightarrow ac > bc

Imagina la recta numérica: al multiplicar por

-1

, todos los puntos se reflejan: los de la derecha pasan a la izquierda.

Solo al multiplicar/dividir por negativo. Sumar/restar un negativo NO invierte el signo.

Inténtalo

Notación de intervalos

\begin{gathered} x > a \leftrightarrow x \in (a, +\infty) \\[2pt] a \leq x \leq b \leftrightarrow x \in [a, b] \end{gathered}

Paréntesis

()

= el punto no se incluye. Corchete

[]

= el punto sí se incluye.

\infty

siempre va con paréntesis: el infinito nunca "se alcanza".

Inténtalo

Errores clásicos

"

-2x > 6 \Rightarrow x > -3

": divide por

-2

y mantuve el signo.

"

x \leq 3

se escribe

x \in (-\infty, 3)

": uso paréntesis porque es "aproximado".

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Inecuaciones cuadráticas: Método de signos

Antes de la regla

Por eso

x^2 - 5x + 6 > 0

no se "despeja": se factoriza y se mira dónde coinciden los signos. El método de signos hace eso de forma sistemática.

La tabla de signos ES esta gráfica: por encima del eje

f(x)>0

, por debajo

f(x)<0

, y el signo solo cambia en las raíces

x=2

y

x=3

.

Reglas

Algoritmo de 4 pasos

f(x) > 0 \text{ donde } f(x) \text{ factorizado} \Rightarrow \text{tabla de signos}

Los factores lineales cambian de signo al pasar por su raíz. La tabla de signos traza esos cambios.

Siempre lleva todo a un lado (

> 0

o

< 0

) antes de factorizar. Nunca canceles factores en una inecuación.

Inténtalo

Errores clásicos

"

x^2 > 9 \Rightarrow x > 3

": solo la raíz positiva.

"

(x-2)(x-3) > 0

→ divido por

(x-2)

:

x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3

."

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Valor Absoluto

Antes de la regla

El valor absoluto es esa distancia, sin importar la dirección. Es la base matemática de "cercanía", y por eso aparece en la definición formal de límite.

|x-2| > 3

= "a distancia mayor que 3 del 2": dos pedazos,

x < -1

o

x > 5

. Si fuera

< 3

, la solución sería el bloque del medio.

Reglas

Definición: distancia al origen

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Siempre da un resultado no negativo.

|-5| = 5

,

|5| = 5

.

En la definición, cuando

x < 0

, se hace

|x| = -x

(que es positivo). Ej:

|-3| = -(-3) = 3

.

Ecuaciones con valor absoluto

|u| = a \Rightarrow u = a \quad \text{o} \quad u = -a \quad (a > 0)

Lo de adentro puede ser

+a

o

-a

: dos casos, dos ecuaciones.

Si

a < 0

: no hay solución.

|u| = -3

no tiene solución (el VA nunca es negativo).

Inténtalo

Inecuaciones con valor absoluto

\begin{gathered} |u| < a \Leftrightarrow -a < u < a \\[2pt] |u| > a \Leftrightarrow u < -a \text{ o } u > a \end{gathered}

< a

: adentro del intervalo (un bloque).

> a

: afuera del intervalo (dos pedazos).

El

a

debe ser positivo. Si

a \leq 0

en

|u| < a

: sin solución. Si

a \leq 0

en

|u| > a

: todos los reales.

Inténtalo

Errores clásicos

"

|x| = -x

no tiene sentido: un valor absoluto no puede ser negativo."

"

|x| < 3 \Rightarrow x < 3

": solo la condición positiva.

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Despejes con exponenciales y logaritmos

Antes de la regla

Lo que acabas de hacer tiene nombre: preguntar "¿a qué exponente?" es tomar un logaritmo. Cuando la variable está arriba (o dentro de un log), despejar con álgebra normal no alcanza y hace falta esa herramienta.

Reglas

Exponencial y logaritmo son inversas una de la otra

\begin{gathered} a^x = b \Rightarrow x = \log_a b \\[2pt] \ln(e^x) = x \qquad e^{\ln x} = x \end{gathered}

Para despejar una variable en el exponente: aplica el logaritmo de ambos lados. Para despejar dentro de un log: aplica la exponencial de ambos lados.

\ln x

solo está definido para

x > 0

. Antes de aplicar: verificar dominio.

Inténtalo

Propiedades del logaritmo para despejar

\begin{gathered} \ln(ab) = \ln a + \ln b \\[2pt] \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \\[2pt] \ln(a^n) = n \ln a \end{gathered}

Logaritmo convierte: multiplicación → suma, división → resta, potencia → factor.

No existe

\ln(a + b) = \ln a + \ln b

. Las propiedades son solo para multiplicación/división/potencia.

Inténtalo

Errores clásicos

"

\ln(a + b) = \ln a + \ln b

": el logaritmo se distribuye sobre la suma.

"

e^{\ln 3 + \ln x} = 3 + x

": exponencial distribuye sobre la suma.

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