Con ángulos muy pequeños, sinxy x valen casi lo mismo: en radianes, sin(0.01)=0.0099998. Por eso su cociente se acerca a 1, y con eso resuelves los parecidos, como xsin3x, que da 3.
La definición
x→0limxsinx=1
No puedes simplificarlo algebraicamente, tienes que conocerlo de memoria. Pero no es un dato suelto: es la base de la derivada del seno y aparece en señales, vibraciones y física ondulatoria.
1.
¿Y esto para qué?
¿Por qué un columpio tarda casi lo mismo en ir y volver si lo empujas suave o un poco más fuerte?
Porque para ángulos pequeños, medidos en radianes, sinθ casi es θ: a 10° la diferencia no llega al 1 %. Con esa aproximación la física del columpio se vuelve sencilla, y el tiempo de ida y vuelta casi deja de depender de qué tan fuerte empujaste. Eso es lo que dice limx→0xsinx=1: cerca de cero, el seno y el ángulo son casi la misma cosa.
2.
¿Cuándo usarlo?
1
Ves usin(u) con el mismo argumento arriba y abajo → el límite es 1.
2
Ves bxsin(ax) → reorganiza: ba⋅axsin(ax)→ba.
3
Ves sin(bx)sin(ax) → multiplica y divide para crear dos formas usin(u).
4
Si el argumento no va a 0, el límite notable no aplica directamente.
3.
Fórmulas clave
El límite notable
x→0limxsinx=1
Vale con cualquier argumento que tienda a 0: usin(u)→1 si u→0.
No es 0 ni 00 "sin solución": seno y argumento se anulan al mismo ritmo.
Argumentos distintos
x→0limbxsin(ax)=ba
Multiplica y divide para fabricar la forma usin(u): el ratio ba queda afuera.
Los primos del coseno
x→0limx1−cosx=0x→0limx21−cosx=21
Salen del notable multiplicando por el conjugado 1+cosx y usando sin2x=1−cos2x.