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Límites laterales · Numa

Teoría

Límites laterales

Técnica de cálculo

Límites laterales

Mirar desde la izquierda y la derecha por separado.

Qué es

Una función puede acercarse a un valor por la izquierda y a otro por la derecha. Con

\frac{|x|}{x}

pasa en 0: por la izquierda siempre vale

-1

y por la derecha

1

. Si los dos lados no coinciden, el límite no existe.

La definición

Un límite lateral analiza qué pasa con

f(x)

cuando

x

se acerca a un punto

a

desde un solo lado.

\lim_{x \to a^-} f(x)

es el límite por la izquierda (valores menores que

a

).

\lim_{x \to a^+} f(x)

es el límite por la derecha (valores mayores que

a

).

El límite bilateral

\lim_{x \to a} f(x)

existe si y solo si ambos laterales existen y son iguales.

1.

¿Y esto para qué?

Un paquete de 999 gramos y uno de 1.001 gramos pesan casi lo mismo. ¿Por qué mandar el segundo puede costar mucho más?

Porque muchas transportadoras cobran por rangos de peso: digamos 10.000 pesos hasta 1 kg y 15.000 apenas se pasa. Si te acercas a 1 kg por la izquierda el precio es 10.000 y por la derecha es 15.000; como los dos lados no coinciden, el límite en 1 kg no existe. Toda tarifa por tramos tiene ese salto, y los límites laterales son la forma de verlo.

2.

¿Cuándo usarlo?

1

Funciones a trozos: evalúa cada pieza en el punto de unión.

2

Valor absoluto: reescribe

|\text{algo}|

como función a trozos y analiza cada caso.

3

Forma

\frac{\text{número}}{0}

: analiza el signo del denominador a cada lado para determinar

+\infty

o

-\infty

.

4

Raíces cuadradas: verifica que el dominio exista a ambos lados del punto.

5

Regla de oro:

\lim_{x \to a} f(x)

existe

\iff

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)

.

3.

Fórmulas clave

Cuándo existe el límite

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

El límite bilateral existe SOLO si los dos lados llegan al mismo valor.

"El límite por la derecha existe" NO implica que el límite exista: falta el otro lado.

Valor absoluto = analizar por lados

\frac{|x - a|}{x - a} = \begin{cases} 1 & x > a \\ -1 & x < a \end{cases}

El

|u|

se abre según el signo de

u

:

|u| = u

si

u \geq 0

,

|u| = -u

si

u < 0

.

Ver hoja de fórmulas completa

4.

Velo en una gráfica

5.

Error clásico

"El límite por la derecha existe y vale 3, entonces

\lim_{x \to a} f(x) = 3

."

6.

Ejemplo resuelto

¿Existe

\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}

?

8.

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

Si

\lim_{x \to 3^-} f(x) = 5

y

\lim_{x \to 3^+} f(x) = 7

, entonces

\lim_{x \to 3} f(x)

…

Comprueba tu comprensión

¿Cuándo DEBES analizar un límite por lados?

9.

Lecciones con esta técnica

#53FácilLímites laterales

Límites laterales: tu primera vez

f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}

Límites laterales4 pasos

#54MedioLímites laterales

Cuando izquierda y derecha no coinciden

f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 2x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}

Límites laterales4 pasos

#55MedioLímites laterales

Límites laterales con valor absoluto

\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}

Límites laterales4 pasos

#56MedioLímites laterales

Lateral en función racional

\lim_{x \to 3} \frac{1}{x - 3}

Límites laterales4 pasos

#57MedioLímites laterales

Lateral con raíz cuadrada

\lim_{x \to 4} \sqrt{x - 4}

Límites laterales4 pasos

#58DifícilLímites laterales

Lateral en función a trozos con tres piezas

f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ 3 & \text{si } x = 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}

Límites laterales4 pasos

#59MedioLímites laterales

Límite con valor absoluto lineal

\lim_{x \to 2} \frac{|x-2|}{x-2}

Límites laterales4 pasos

#60DifícilLímites laterales

Valor absoluto con factorización

\lim_{x \to -1} \frac{|x^2-1|}{x+1}

Límites laterales4 pasos

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