Trigonometría Analítica

Círculo unitario Identidades pitagóricas Suma de ángulos y ángulo doble

Círculo unitario

Antes de la regla

El círculo de radio 1 centrado en el origen. Cada punto en él es

( \cos \theta, \sin \theta )

. Con esto, la trigonometría deja de ser solo triángulos y pasa a ser coordenadas.

Arrastra

\theta

por el círculo unitario:

\cos\theta

es la coordenada x del punto (cateto horizontal) y

\sin\theta

su altura (cateto vertical). Recorre los cuadrantes y verifica los signos CAST.

Reglas

Definición coordenada

\begin{gathered} P(\theta) = (\cos \theta,\; \sin \theta) \\[2pt] \text{en el círculo } x^2 + y^2 = 1 \end{gathered}

Cos = coordenada x (horizontal). Sin = coordenada y (vertical). Recuerda: "x viene antes que y, cos antes que sin."

El ángulo

\theta

está en radianes.

180° = \pi

rad,

90° = \pi/2

rad,

45° = \pi/4

rad.

Tabla de ángulos notables (de memoria)

\begin{array}{c|cc} \theta & \cos \theta & \sin \theta \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ \pi/6 & \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ \pi/4 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ \pi/3 & 1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \pi/2 & 0 & 1 \end{array}

Para

\sin

: los valores son

\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}

: secuencia de raíces de 0 a 4. Para

\cos

es la misma secuencia pero al revés.

No es necesario memorizarlos como pares. El truco de la secuencia

\sqrt{k}/2

cubre todo.

Inténtalo

Signos por cuadrante (CAST)

\begin{gathered} \text{Q1: todos} \qquad \text{Q2: sin}(+) \\[2pt] \text{Q3: tan}(+) \qquad \text{Q4: cos}(+) \end{gathered}

Orden CAST (Q4→Q1→Q2→Q3): Cos, All, Sin, Tan. En cada cuadrante solo esas razones son positivas.

En Q2 y Q3 el coseno es negativo. En Q3 y Q4 el seno es negativo.

Inténtalo

Errores clásicos

"

\cos(\pi/3) = \sqrt{3}/2

": confundo con seno.

"

\tan(\pi/2)

no está definida: la marco como 0."

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Identidades pitagóricas

Antes de la regla

Tres identidades que vienen del teorema de Pitágoras aplicado al círculo unitario. Son las herramientas de "transformación" de la trig.

El triángulo

3

-

4

-

5

: respecto a

\theta

,

\sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hip}} = \frac{3}{5}

y

\cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hip}} = \frac{4}{5}

. Como

3^2 + 4^2 = 5^2

, al dividir entre

5^2

queda

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

.

Reglas

Identidad fundamental

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

Viene de

x^2 + y^2 = 1

(círculo unitario) con

x = \cos\theta

,

y = \sin\theta

.

De esta se derivan las otras dos dividiéndola por

\cos^2\theta

o

\sin^2\theta

.

Inténtalo

Identidades con tangente y secante

\begin{gathered} 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \\[2pt] 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \end{gathered}

Dividir

\sin^2 + \cos^2 = 1

por

\cos^2

da la primera. Dividir por

\sin^2

da la segunda.

Estas identidades aparecen frecuentemente en integrales trigonométricas.

Errores clásicos

"

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \sin\theta + \cos\theta = 1

"

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Suma de ángulos y ángulo doble

Antes de la regla

Permiten convertir

\sin(2x)

en

2\sin x \cos x

, o

\cos^2 x

en

\frac{1+\cos 2x}{2}

. Indispensables para integrales y límites complejos.

Reglas

Suma de ángulos

\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b

\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b

Para sin: los signos exteriores son iguales (± arriba, ± abajo). Para cos: son opuestos (± arriba, ∓ abajo).

En

\cos(a+b)

el signo es

-

(opuesto al del exterior). En

\cos(a-b)

el signo es

+

.

Identidades de ángulo doble

\sin(2a) = 2\sin a \cos a

\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1

El seno doble siempre es

2 \cdot \sin \cdot \cos

. El coseno doble tiene 3 formas según lo que necesites eliminar.

La forma más útil para integrales:

\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}

y

\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}

(despejadas).

Inténtalo

Errores clásicos

"

\sin(a + b) = \sin a + \sin b

": el seno distribuye sobre la suma.

"

\cos(2a) = 2\cos a

": igual que el seno doble pero con coseno.

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